On quantization

astronomia
fizyka
informatyka
matematyka

monograficzne

Znajomość fizyki i matematyki wynikająca z zaliczenia dwóch lat studiów licencjackich na Wydziale Fizyki UW.

w sali

Wykład będzie dotyczył analizy aspektów fizycznych oraz matematycznych rozmaitych "schematów kwantowania" obecnych w literaturze a używanych w celu konstrukcji kwantowych modeli rozmaitych zjawisk fizycznych. Pod względem matematycznym wykład nie będzie koncentrował się na "cyzelowaniu" technicznej strony dowodów, lecz na pokazywaniu istoty rozmaitych struktur matematycznych, które pojawiają się automatycznie jako konsekwencja przyjętych założeń fizycznych.

Prawa fizyki klasycznej uważamy za przybliżone, wynikające z praw fizyki kwantowej zastosowanej do "dużych" obiektów, albo formalnie otrzymane w granicy gdy stała Plancka dąży do zera. Trudno zatem oczekiwać, że możliwe jest rozumowanie prowadzące w odwrotną stronę, polegające na konstrukcji teorii kwantowej na podstawie znajomości teorii klasycznej. Tymczasem -- paradoksalnie -- wszystkie ważne teorie kwantowe (mechanika kwantowa, elektrodynamika kwantowa, nawet chromodynamika kwantowa) powstały w taki właśnie sposób: przez "kwantowanie" jakiejś teorii klasycznej. Procedura ta, zapoczątkowana hipotezą W.~Heisenberga polegającą na zastąpieniu klasycznych obserwabli (pędu i położenia) ich niekomutującymi odpowiednikami tak, by nawias Poissona przeszedł na komutator, kryje w sobie wiele zagadek oraz niespodzianek -- zarówno bardzo bolesnych (nie wszystko da się "skwantować", a jeśli już to niejednoznacznie), jak i nadspodziewanie pozytywnych (bo jednak w niektórych sytuacjach jednoznacznie).

Spis poruszanych zagadnień wygląda następująco:

1. Kwantyzacja według Heisenberga: sukcesy i ograniczenia,

2. Kwantyzacja według Schr"odingera.

3. Analiza równoważności obu podejść.

4. Własności wiązek cząstek swobodnych a kwantowo-mechaniczny operator pędu.

5. Funkcja falowa jako "półgęstość".

6. Jednoznaczne kwantowanie "pól wektorowych".

7. Kwantowanie "transformacji Galileusza".

8. "Ułamkowa transformata Fouriera" a oscylator harmoniczny.

9. Kwantowanie według "przepisu" Weyla. Nawias Moyala.

10. Kwantowanie spinu.

11. Operatory hermitowskie a samosprzężone.

12. Co to jest "widmo ciągłe"?

13. Paradoksy. Przykład: "Arrival time" w mechanice kwantowej.

14. Operator położenia Newtona-Wignera.

1. I. Białynicki-Birula, M. Cieplak and J. Kamiński, Theory of Quanta, Oxford University Press (1992). Original version in Polish: Teoria Kwantów. Mechanika Falowa, PWN, Warszawa (1991)

2. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-relativistic theory, Pergamon Press (1960). Polish version: Mechanika Kwantowa. Teoria nierelatywistyczna, PWN Warszawa (2011)

3. L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Mechanics}, Pergamon Press (1971). Polish version: Mechanika, PWN Warszawa (2006)

4. K. Maurin, Methods of Hilbert Spaces, PWN Warszawa (1972). Original version in Polish: Metody Przestrzeni Hilberta, PWN Warszawa (1959)

5. J. Kijowski, Geometria różniczkowa jako narzędzie nauk przyrodniczych, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa (2015)

1. Znajomość prostych struktur geometrycznych umożliwiających zapisywanie równań mechaniki kwantowej w dowolnym -- niekoniecznie kartezjańskim -- układzie współrzędnych.

2. Znajomość prostych elementów analizy funkcjonalnej, pozwalająca unikać pewnych -- dość częstych -- błędów i paradoksów.

3. Nabycie podstawowych umiejętności w zakresie rozpoznawania istotnych matematycznych własności obiektów, pojawiających się w naturalny sposób w fizyce kwantowej.

Zaliczenie na podstawie egzaminu. Warunkiem koniecznym dopuszczenia do egzaminu jest obecność na zajęciach oraz zaliczenie zadań domowych.

Nie ma.