Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Równania różniczkowe cząstkowe jako narzędzie teorii pola

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1100-RRC
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe cząstkowe jako narzędzie teorii pola
Jednostka: Wydział Fizyki
Grupy: Fizyka, I st. studia indywidualne; przedmioty do wyboru
Fizyka, I stopień; przedmioty do wyboru
Fizyka, II stopień; przedmioty z listy "Wybrane zagadnienia fizyki współczesnej"
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.
Język prowadzenia: polski
Skrócony opis:

Celem zajęć jest kształcenie umiejętności formułowania problemów fizycznych w języku równań różniczkowych oraz wyrobienie podstawowych intuicji jakościowych dotyczących istnienia i jednoznaczności rozwiązań najważniejszych typów równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, a także poznanie podstawowych metod konstrukcji tych rozwiązań.

Pełny opis:

Zajęcia mają zapoznać uczestników z najważniejszymi równaniami różniczkowymi pojawiającymi się w fizyce i omówić najważniejsze sposoby ich rozwiązywania. Będą też stanowiły powtórkę i uzupełnienie tych działów matematyki (teoria dystrybucji, analiza harmoniczna) które znajdują tu szczególne zastosowanie. W szczególności będą omówione następujące zagadnienia:

1. Czy liczby urojone istnieją w przyrodzie? Od Tartaglii i Cardano do fundamentalnego twierdzenia algebry. Powtórka własności najważniejszych funkcji analitycznych: wykładniczej, trygonometrycznych i hiperbolicznych. Transformacje Lorentza jako ,,obroty hiperboliczne''.

2. Analiza harmoniczna na grupie cyklicznej (,,fast Fourier transform’’). Rozwiązywanie liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach.

3. Równania różniczkowe a różnicowe. Stabilność zagadnienia początkowego.

4. Liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Opis małych drgań wokół położenia równowagi. Tłumienie i rezonans.

5. Zachowanie rozwiązań układu dynamicznego w pobliżu punktu osobliwego.

6. Teoria transformacji Fouriera widziana z perspektywy ,,fast Fourier transform''.

7. Elementy teorii dystrybucji. Przykłady dystrybucji ważnych dla zastosowań: funkcja Heaviside’a, delta Diraca, dipol, P(1/x), oraz ich transformaty Fouriera.

8. Rozwiązywanie równań różniczkowych w sensie dystrybucji.

9. Jak radzić sobie z najważniejszymi równaniami cząstkowymi pojawiającymi się w zastosowaniach.

10. Przypadek hiperboliczny: Wyprowadzenie równania struny, równania rozchodzenia się dźwięku i równania telegrafistów z prostych zasad fizycznych. Metody rozwiązywania i własności ich rozwiązań. Zasada zachowania energii. Słaba i silna zasada Huygensa.

11. Funkcjonalno-analityczne spojrzenie na ewolucję pola. Elementy teorii spektralnej operatorów samosprzężonych. Rachunek operatorowy.

12. Przypadek eliptyczny: Równanie Laplace’a. Niestabilność zagadnienia początkowego. Metody rozwiązywania. Elementy teorii potencjału. Zagadnienia brzegowe. Multipole a wielomiany harmoniczne.

13. Przypadek paraboliczny: Równanie dyfuzji i zjawisko przewodnictwa cieplnego. Nieskończona prędkość rozchodzenia się zaburzeń w tym modelu. Nieodwracalność zjawisk opisywanych równaniami parabolicznymi.

Literatura:

W. I. Arnold Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975

F. John Partial Differential Equations, Springer 1978

K. Marin Analiza, PWN, Warszawa 2010

L. Evans Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2004

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2021/22" (zakończony)

Okres: 2022-02-21 - 2022-06-15
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Jerzy Kijowski
Prowadzący grup: Katarzyna Grabowska, Jerzy Kijowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.0.0-7 (2022-11-16)