Uniwersytet Warszawski - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Równania różniczkowe cząstkowe jako narzędzie teorii pola

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1100-RRC
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe cząstkowe jako narzędzie teorii pola
Jednostka: Wydział Fizyki
Grupy: Fizyka, I st. studia indywidualne; przedmioty do wyboru
Fizyka, I stopień; przedmioty do wyboru
Fizyka, II stopień; przedmioty z listy "Wybrane zagadnienia fizyki współczesnej"
Punkty ECTS i inne: (brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Skrócony opis:

Celem zajęć jest kształcenie umiejętności formułowania problemów fizycznych w języku równań różniczkowych oraz wyrobienie podstawowych intuicji jakościowych dotyczących istnienia i jednoznaczności rozwiązań najważniejszych typów równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, a także poznanie podstawowych metod konstrukcji tych rozwiązań.

Pełny opis:

Zajęcia mają zapoznać uczestników z najważniejszymi równaniami różniczkowymi pojawiającymi się w fizyce i omówić najważniejsze sposoby ich rozwiązywania. Będą też stanowiły powtórkę i uzupełnienie tych działów matematyki (teoria dystrybucji, analiza harmoniczna) które znajdują tu szczególne zastosowanie. W szczególności będą omówione następujące zagadnienia:

1. Czy liczby urojone istnieją w przyrodzie? Od Tartaglii i Cardano do fundamentalnego twierdzenia algebry. Powtórka własności najważniejszych funkcji analitycznych: wykładniczej, trygonometrycznych i hiperbolicznych. Transformacje Lorentza jako ,,obroty hiperboliczne''.

2. Analiza harmoniczna na grupie cyklicznej (,,fast Fourier transform’’). Rozwiązywanie liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach.

3. Równania różniczkowe a różnicowe. Stabilność zagadnienia początkowego.

4. Liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Opis małych drgań wokół położenia równowagi. Tłumienie i rezonans.

5. Zachowanie rozwiązań układu dynamicznego w pobliżu punktu osobliwego.

6. Teoria transformacji Fouriera widziana z perspektywy ,,fast Fourier transform''.

7. Elementy teorii dystrybucji. Przykłady dystrybucji ważnych dla zastosowań: funkcja Heaviside’a, delta Diraca, dipol, P(1/x), oraz ich transformaty Fouriera.

8. Rozwiązywanie równań różniczkowych w sensie dystrybucji.

9. Jak radzić sobie z najważniejszymi równaniami cząstkowymi pojawiającymi się w zastosowaniach.

10. Przypadek hiperboliczny: Wyprowadzenie równania struny, równania rozchodzenia się dźwięku i równania telegrafistów z prostych zasad fizycznych. Metody rozwiązywania i własności ich rozwiązań. Zasada zachowania energii. Słaba i silna zasada Huygensa.

11. Funkcjonalno-analityczne spojrzenie na ewolucję pola. Elementy teorii spektralnej operatorów samosprzężonych. Rachunek operatorowy.

12. Przypadek eliptyczny: Równanie Laplace’a. Niestabilność zagadnienia początkowego. Metody rozwiązywania. Elementy teorii potencjału. Zagadnienia brzegowe. Multipole a wielomiany harmoniczne.

13. Przypadek paraboliczny: Równanie dyfuzji i zjawisko przewodnictwa cieplnego. Nieskończona prędkość rozchodzenia się zaburzeń w tym modelu. Nieodwracalność zjawisk opisywanych równaniami parabolicznymi.

Literatura:

W. I. Arnold Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975

F. John Partial Differential Equations, Springer 1978

K. Marin Analiza, PWN, Warszawa 2010

L. Evans Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2004

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.
kontakt deklaracja dostępności USOSweb 6.8.1.0-2 (2023-01-24)