Równania różniczkowe cząstkowe jako narzędzie teorii pola
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1100-RRC |
Kod Erasmus / ISCED: | (brak danych) / (brak danych) |
Nazwa przedmiotu: | Równania różniczkowe cząstkowe jako narzędzie teorii pola |
Jednostka: | Wydział Fizyki |
Grupy: |
Fizyka, I st. studia indywidualne; przedmioty do wyboru Fizyka, I stopień; przedmioty do wyboru Fizyka, II stopień; przedmioty z listy "Wybrane zagadnienia fizyki współczesnej" |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | polski |
Skrócony opis: |
Celem zajęć jest kształcenie umiejętności formułowania problemów fizycznych w języku równań różniczkowych oraz wyrobienie podstawowych intuicji jakościowych dotyczących istnienia i jednoznaczności rozwiązań najważniejszych typów równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, a także poznanie podstawowych metod konstrukcji tych rozwiązań. |
Pełny opis: |
Zajęcia mają zapoznać uczestników z najważniejszymi równaniami różniczkowymi pojawiającymi się w fizyce i omówić najważniejsze sposoby ich rozwiązywania. Będą też stanowiły powtórkę i uzupełnienie tych działów matematyki (teoria dystrybucji, analiza harmoniczna) które znajdują tu szczególne zastosowanie. W szczególności będą omówione następujące zagadnienia: 1. Czy liczby urojone istnieją w przyrodzie? Od Tartaglii i Cardano do fundamentalnego twierdzenia algebry. Powtórka własności najważniejszych funkcji analitycznych: wykładniczej, trygonometrycznych i hiperbolicznych. Transformacje Lorentza jako ,,obroty hiperboliczne''. 2. Analiza harmoniczna na grupie cyklicznej (,,fast Fourier transform’’). Rozwiązywanie liniowych równań różnicowych o stałych współczynnikach. 3. Równania różniczkowe a różnicowe. Stabilność zagadnienia początkowego. 4. Liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Opis małych drgań wokół położenia równowagi. Tłumienie i rezonans. 5. Zachowanie rozwiązań układu dynamicznego w pobliżu punktu osobliwego. 6. Teoria transformacji Fouriera widziana z perspektywy ,,fast Fourier transform''. 7. Elementy teorii dystrybucji. Przykłady dystrybucji ważnych dla zastosowań: funkcja Heaviside’a, delta Diraca, dipol, P(1/x), oraz ich transformaty Fouriera. 8. Rozwiązywanie równań różniczkowych w sensie dystrybucji. 9. Jak radzić sobie z najważniejszymi równaniami cząstkowymi pojawiającymi się w zastosowaniach. 10. Przypadek hiperboliczny: Wyprowadzenie równania struny, równania rozchodzenia się dźwięku i równania telegrafistów z prostych zasad fizycznych. Metody rozwiązywania i własności ich rozwiązań. Zasada zachowania energii. Słaba i silna zasada Huygensa. 11. Funkcjonalno-analityczne spojrzenie na ewolucję pola. Elementy teorii spektralnej operatorów samosprzężonych. Rachunek operatorowy. 12. Przypadek eliptyczny: Równanie Laplace’a. Niestabilność zagadnienia początkowego. Metody rozwiązywania. Elementy teorii potencjału. Zagadnienia brzegowe. Multipole a wielomiany harmoniczne. 13. Przypadek paraboliczny: Równanie dyfuzji i zjawisko przewodnictwa cieplnego. Nieskończona prędkość rozchodzenia się zaburzeń w tym modelu. Nieodwracalność zjawisk opisywanych równaniami parabolicznymi. |
Literatura: |
W. I. Arnold Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975 F. John Partial Differential Equations, Springer 1978 K. Marin Analiza, PWN, Warszawa 2010 L. Evans Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2004 |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki.