Teoria grup I

Znajomosc analizy i algebry

w sali

Wykład ma na celu zapoznanie studenta z podstawami teorii grup, teorii reprezentacji grup i teorii grup i algebr Liego. Ważnym elementem programu będzie również prezentacja zastosowań poznanego materiału do zagadnień fizyki teoretycznej.

W toku wykładu przedstawione zostaną elementarne pojęcia teorii grup i teorii reprezentacji grup. W dalszej części wykład skoncentruje się na grupach i algebrach Liego. Materiał omawiany na wykładzie będzie stanowił podstawę do poznania bardziej zaawansowanych wyników teorii grup i algebr Liego w semestrze letnim.

Program:

1. Podstawy teorii grup

(grupa, podgrupa, homomorfizm, podgrupa normalna, przestrzeń i grupa ilorazowa, iloczyn grup, iloczyn półprosty, działania grup, przestrzenie jednorodne, algebra grupowa)

2. Teoria reprezentacji grup skończonych i zwartych

(reprezentacja, podreprezentacja, reprezentacja nieprzywiedlna, tw. Petera-Weyla, charakter reprezentacji, znajdowanie wszystkich reprezentacji nieprzywiedlnych, rozkład algebry grupowej, przykład: reprezentacje grupy symetrycznej, rozszerzenie na grupy zwarte)

3. Grupy przemienne, dwoistość Pontriagina (Rn i Zn)

(grupa dwoista grupy przemiennej, transformacja Fouriera)

4. Reprezentacje indukowane

(definicja reprezentacji indukowanej, elementy teorii Mackey'a reprezentacji iloczynów półprostych grupy przemiennej, przykład: grupa Poincare'go)

5. Grupy i algebry Liego

(grupa Liego, algebra Liego grupy Liego, przykłady: klasyczne grupy macierzowe: GL(n), SU(n), SO(n), SL(n,C), morfizmy grup i algebr liego, reprezentacja dołączona, odwzorowanie exp, forma Maurera-Cartana)

Nakład pracy studenta:

Wykłady: 30 h -- 1 ECTS

Ćwiczenia: 30 h -- 1 ECTS

Przygotowanie do wykladu i cwiczen: 30 h -- 1 ECTS

Zadania domowe i przygotowanie do kolokwium: 30 h -- 1 ECTS

Przygotowanie do egzaminu: 30 h -- 1 ECTS

1. A. Trautman "Grupy oraz ich reprezentacje" (skrypt WF UW)

2. J.P. Serre "Reprezentacje liniowe grup skończonych"

3. A. Barut, R. Rączka "Theory of group representations and applications"

4. B.Simon, "Representations of finite and compact groups"

Wiedza: Znajomosc podstaw teorii grup i ich reprezentacji

Umiejętności: Zdolność rozwiązywania prostych zadań z teorii grup, i ich reprezentacji. w szczegolnosci dotyczace iloczynu polprostego, charakterow reprezentacji, rozkladu na reprezentacje nieprzywiedlne dla grup skonczonych.

Postawa: Docenienie piękna, głębi i znaczenia teorii grup, zwłaszcza w kontekscie zastosowań w fizyce.

Zaliczenie przedmiotu odbywa się na podstawie zaliczenia cwiczen, egzaminu pisemnego i ustnego.

Nie dotyczy

1. Podstawy teorii grup (grupa, podgrupa, warstwa, przestrzeń ilorazowa, homomorfizm, podgrupa normalna, grupa ilorazowa, iloczyn prosty, iloczyn półprosty, rozkład Iwasawy dla SL(2,R), działanie, podgrupa izotropii, orbita, działanie tranzytywne, rozwłóknienie Hopfa)

2. Teoria reprezentacji grup zwartych (grupy topologiczne, grupy zwarte, miara Haara, reprezentacje mocno ciągłe, reprezentacje unitarne reprezentacja regularna, reprezentacja kontragredientna, unitaryzowalność mocno ciągłych reprezentacji na przestrzeniach Hilberta, operatory splatające, podprzestrzenie niezmiennicze i podreprezentacje, sumy proste i iloczyny tensorowe reprezentacji, reprezentacje nieprzywiedlne, lemat Schura, relacje ortogonalności, charaktery, rozkład reprezentacji na sumę prostą nieprzywiedlnych, twierdzenie Petera-Weyla, zupełność układu charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych)

Jeśli czas pozwoli zbadamy również reprezentacje grupy SU(2) i reprezentacje grup symetrycznych.