Geometria różniczkowa I

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1100-2Ind05
Kod Erasmus / ISCED:	11.102 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (brak danych)
Nazwa przedmiotu:	Geometria różniczkowa I
Jednostka:	Wydział Fizyki
Grupy:	Astronomia, I stopień; przedmioty do wyboru Fizyka, I stopień; przedmioty do wyboru
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	polski
Rodzaj przedmiotu:	obowiązkowe
Wymagania (lista przedmiotów):	Algebra I R 1100-1Ind02 Algebra II R 1100-1Ind06 Analiza I R 1100-1Ind01 Analiza II R 1100-1Ind05
Założenia (opisowo):	Osoba przystępująca do nauki w ramach przedmiotu Geom. R. I powinna ukończyć z wynikiem pozytywnym przedmiot Analiza I i II oraz Algebra I i II. Oznacza to, że wymagana jest umiejętność posługiwania się formalnym językiem matematycznym, znajomość rachunku różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych. Konieczna też jest znajomość algebry liniowej w zakresie wykładu Algebra I i II.
Tryb prowadzenia:	w sali
Skrócony opis:	Zajęcia maja na celu zapoznanie studentów fizyki (nauk przyrodniczych) z podstawowymi pojęciami, konstrukcjami i twierdzeniami geometrii różniczkowej, zwłaszcza używanymi w mechanice analitycznej i teorii pola.
Pełny opis:	Rozmaitości i formy różniczkowe - Pojecie k-powierzchni zanurzonej. Definicja. - Równoważny warunek na powierzchnie - przykład, dowód. - k-parametryzacja, przykłady, krzywe, - pojęcie rozmaitości różniczkowej, - wektory styczne, przestrzeń styczna do rozmaitości (powierzchni) - własności, przykład. - Działanie wektora stycznego na funkcje, wektory styczne jako operatory rózniczkowe. - Ekstrema związane - warunek konieczny, wniosek. - Warunek dostateczny na ekstremum związane. - Transport wektorów. Odwzorowania styczne. - Tw. o lokalnej odwracalności. - Różniczka funkcji, 1-forma, wiązka kostyczna. - Formy - definicja, iloczyn zewnętrzny, przykłady, łączność. - Baza przestrzeni l-form, różniczkowanie funkcji - własności. - Formy rózniczkowe - definicja, pochodna zewnętrzna i jej własności. Związek z grad, rot, div. - Cofniecie k-formy - własnosci, wzór z wyznacznikami. - Zbiory ściągalne i gwiaździste. Lemat Poincar´e - dowód, przykład. - Rozkład jedności. - Zmiana parametryzacji. Wniosek (związek z parametryzacjami właściwymi). - Orientacja - dla przestrzeni, dla powierzchni, przykład, zgodność z parametryzacja. - Zgodny układ parametryzacji a orientowalnosc. - Całka z formy po powierzchni - definicja, poprawność. - Powierzchnie z brzegiem. Orientacja brzegu. Brzeg jako powierzchnia (zorientowana). - Tw. Stokesa, przykłady. - Tensor metryczny, forma objętości. - Całka z funkcji po powierzchni - poprawność definicji, przykłady. - Izomorfizmy na zorientowanej przestrzeni Riemanna, _ Hodge'a. - Całki z form jako całki po powierzchni, tradycyjne wzory całkowe. - Wzory analizy wektorowej, grad, div, rot. - Tw. Stokesa dla pól wektorowych w R3. Przypadek R2. o Pochodna Liego. Interpretacja geometryczna. o Wiązki wektorowe, przykłady. o Twierdzenie Frobeniusa. o Transport równoległy, koneksja, pochodna kowariantna. o Koneksja metryczna, koneksja Levi-Civity, torsja, krzywizna. Forma zaliczenia: egzamin pisemny i ustny Opis przygotował Jacek Jezierski, maj 2008
Literatura:	1. K. Maurin, Analiza t. 2. 2. P. Urbanski, Analiza III, skrypt UW. 3. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa, 1987. 4. M. Skwarczynski, Geometria rozmaitości Riemanna, PWN, Warszawa, 1993. 5. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Universitext, Springer, New York, 1995. 6. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, Warszawa, 2002. 7. J. Kijowski, Geometria różniczkowa jako narzędzie nauk przyrodniczych, Monografie CSZ PW, Warszawa 2015, www.csz.pw.edu.pl
Efekty uczenia się:	1. Znajomość podstaw Geometrii Różniczkowej. 2. Uzyskanie podstawowych kompetencji w zakresie czytania i rozumienia tekstów matematycznych w tej dziedzinie. 3. Nabycie podstawowych umiejętności w zakresie rozpoznawania istotnych matematycznych własności badanych obiektów i stosowania ich. Osoba, która zdała egzamin z Geom. R. I będzie znała podstawowe pojęcia i biegle się nimi posługiwała.
Metody i kryteria oceniania:	Wykład kończy się egzaminem, składającym się z części pisemnej i ustnej. Do uzyskania oceny pozytywnej niezbędne jest zdanie obydwu części egzaminu.
Praktyki zawodowe:	brak

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki.