Algebra II R

Wykład jest kontynuacją wykładu "Algebra I". Jego celem jest dalsze zapoznanie studenta z podstawami algebry liniowej i elementami algebry abstrakcyjnej. Ważnym elementem będzie również prezentacja zastosowań poznanego materiału w problemach rachunkowych analizy matematycznej i fizyki.

Część druga, poziom rozszerzony.

Bazując na podstawach z wykładu "Algebra I" przejdziemy do nieco bardziej zaawansowanych tematów z zakresu algebry liniowej. Sporo uwagi poświęcimy badaniu operatorów liniowych i rachunkowi funkcyjnemu. Omówione będą przestrzenie unitarne i elementy geometri analitycznej. Pod koniec semestru zajmiemy się podstawowymi pojęciami algebry abstrakcyjnej.

Program:

1. Algebra wieloliniowa i wyznaczniki - c.d.

(formy kwadratowe, diagonalizacja, formy dwuliniowe na rzeczywistych przestrzeniach wektorowych, sygnatura, dodatniość, przestrzenie symplektyczne)

2. Spektrum operatora

(spektrum endomorfizmu, wektory własne, operatory diagonalizowalne, baza Jordana, postać Jordana)

3. Rachunek funkcyjny

(przestrzeń odwzorowań liniowych, funkcje od operatora)

4. Przestrzenie unitarne

(iloczyny skalarne, przestrzenie unitarne, rzuty ortogonalne, odwzorowania, samosprzężone i unitarne, twierdzenie spektralne dla przestrzeni skończenie wymiarowych)

5. Tematy dodatkowe

(grupy - permutacje, pierwiastki z jedności, grupy liniowe, pierścienie, algebry, moduły, reprezentacje, przestrzenie afiniczne, odwzorowania afiniczne)

Zaliczenie przedmiotu odbywa się na podstawie egzaminu pisemnego i ustnego. Do egzaminu pisemnego mogą podchodzić studenci, którzy uzyskają 50% punktów z kolokwiów. Pozytywny wynik egzaminu pisemnego (minimum 50% punktów) umożliwia podejście do egzaminu ustnego.

Czerwiec 2007, Piotr Sołtan

1. P. Urbański "Algebra dla studentów fizyki" (skrypt WF UW)

2. A. Białynicki-Birula "Algebra"

3. A. Mostowski, M. Stark "Algebra liniowa"