Matematyka II

fizyka

w sali

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych, elementy algebry liniowej, równania różniczkowe zwyczajne.

Program:

1. Działania na liczbach zespolonych

a) działania arytmetyczne i pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry

b) płaszczyzna zespolona, postać trygonometryczna liczb zespolonych, wzór de Moivre'a

2. Przestrzenie wektorowe

a) przestrzeń wektorowa, kombinacje liniowe wektorów, liniowa niezależność, baza, podprzestrzenie.

b) układy równań liniowych, wyznacznik, wzór Cramera

c) odwzorowania liniowe, macierz odwzorowania

d) iloczyn skalarny, ortogonalność, ortogonalizacja Grama-Schmidta.

e) iloczyn wektorowy.

3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

a) ciągłość funkcji

b) pochodne cząstkowe funkcji i odwzorowania, pochodne kierunkowe, gradient, macierz Jacobiego

c) wyższe pochodne, wzór Taylora

d) punkty krytyczne i ekstrema, warunki dostateczne na ekstremum

e) ekstrema warunkowe, metoda mnożników Lagrange'a

4. Równania różniczkowe zwyczajne

a) zagadnienie początkowe, istnienie rozwiązania,

b) równania o rozdzielonych zmiennych, równania jednorodne, równania liniowe pierwszego rzędu

c) równania wyższych rzędów

d) układy równań liniowych

e) równania liniowe n-tego rzędu

5. Całka Riemanna funkcji wielu zmiennych

Opis sporządził Jacek Wojtkiewicz, maj 2010

drobne zmiany wprowadziła Katarzyna Grabowska, listopad 2010

1. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN.

2. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN.

3. P. Urbański, Analiza II (skrypt – wydawnictwo UW).

4. St. Zakrzewski, Algebra i geometria, skrypt Wydziału Fizyki UW.

5. K. Napiórkowski, Matematyka dla Nauczycielskiego Kolegium Fizyki.

6. G. Moreno, Skrypt wykładu: https://www.overleaf.com/read/wndhxzyqgsyh

Zbiory zadań:

1. W. Krysicki i L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN.

2. Banaś, Wędrychowicz: Zbiór zadań z analizy matematycznej

Oczekujemy, że osoba, która zaliczy ten przedmiot, będzie posiadała następujące umiejętności:

i) Działania na liczbach zespolonych (działania arytmetyczne i pierwiastkowanie), umiejętność operowania postacią trygonometryczną liczb zespolonych, znajomość płaszczyzny zespolonej.

ii) Rachunki na wektorach, testowanie liniowej niezależności, umiejętność liczenia iloczynu skalarnego i wektorowego.

iii) Rachunki na macierzach, rozwiązywanie układów równań liniowych.

iv) Liczenie wartości i wektorów własnych macierzy.

v) Stwierdzenie ciągłości i różniczkowalności funkcji wielu zmiennych rzeczywistych, liczenie pochodnych cząstkowych i kierunkowych, umiejętność rozwinięcia w szereg Taylora.

vi) Znajdowanie ekstremów zwykłych i warunkowych funkcji wielu zmiennych.

vii) Zamiana zmiennych w równaniach różniczkowych zwykłych i cząstkowych.

viii) Rozwiązywanie standardowych równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych.

ix) Znajomość definicji całki funkcji wielu zmiennych, obliczanie powierzchni i objętości, oblicznie prostych całek po obszarach w R^2,

R^3

Dopuszczenie do egzaminu odbywa się na podstawie wyniku kolokwiów i (ewentualnie) aktywności na zajęciach. Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. Ocena z przedmiotu wystawiana jest na podstawie wyników egzaminu.