Optymalny transport w równaniach ewolucyjnych

monograficzne

Analiza funkcjonalna 1000-135AF

Uczestnik powinien znać podstawowe twierdzenia analizy funkcjonalnej. Zaawansowana znajomość teorii miary nie jest wymagana, ale nie jest niewskazana. Podstawy teorii miary związane z takimi wykładami jak Analiza Matematyczna oraz Rachunek Prawdopodobieństwa powinny w zupełności wystarczyć. Uczestnik może spodziewać się krótkich wycieczek w kierunku równań różniczkowych.

Wykład ma na celu zapoznanie uczestników z teorią optymalnego transportu, w szczególności wyprowadzając metryki Wassersteina. Koniec końców wprowadzimy pojęcie potoku gradientowego względem metryki Wassersteina i zauważymy jak wiele zjawisk fizycznych można traktować jako potoki gradientowe. Jeżeli wystarczy czasu, na koniec porozmawiamy o granicy pola średniego dla równania Własowa.

Większa część wykładu podąża zgodnie ze skryptem L. Ambrosio, N. Gigli ''A user's guide to optimal transport'' ograniczając się do przypadku przestrzeni euklidesowej.

Część I: Zagadnienie optymalnego transportu.

1. Sformułowanie zagadnienia optymalnego transportu według Monge'a i Kantorowicza.

2. Warunki równoważne optymalności planu transportowego.

3. Istnienie optymalnych odwzorowań.

Część II: Metryki Wassesteina.

1. Wprowadzenie metryk Wassersteina. Metryka W2.

2. Podstawowe własności przestrzeni miar w metryce W2.

3. Miary w metryce W2 jako przestrzeń geodezyjna.

4. Krzywe absolutnie ciągłe a równanie ciągłości.

5. Słabo-Riemannowska struktura przestrzeni miar w metryce W2.

Część III: Potoki gradientowe na przestrzeniach metrycznych

1. Pojęcie potoku gradientowego na przestrzeni Hilberta oraz na przestrzeni metrycznej.

2. Trzy definicje potoku gradientowego i zależności między nimi.

3. Potoki gradientowe geodezyjnie wypukłych funkcjonałów.

4. Trzy klasyczne przykłady potoków gradientowych.

Dodatek:

1. Granica pola średniego dla równania Własowa. Granica w wariancie deterministycznym.

Ambrosio, Gigli ''A user's guide to optimal transport'',

Ambrosio, Gigli, Savare ''Gradient flows: In metric spaces and in the space of probability measures'',

François Golse, ''Mean-Field Limits in Statistical Dynamics''.

Student zna i rozumie pojęcie potoku gradientowego i jego związek z transportem masy i z równaniem ciągłości. Student wie gdzie szukać rozszerzeń materiału z wykładu i posiada dostateczne zrozumienie tej tematyki, żeby kontynuować studia we własnym zakresie.

Dwa do wyboru z następujących: aktywność na ćwiczeniach, jedna dość rozbudowana praca domowa, egzamin ustny.