Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Metody wariacyjne w równaniach różniczkowych cząstkowych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M23MWR
Kod Erasmus / ISCED: 11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Metody wariacyjne w równaniach różniczkowych cząstkowych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne
Wymagania (lista przedmiotów):

Analiza funkcjonalna 1000-135AF
Skrócony opis:

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z wybranymi metodami rachunku wariacyjnego w zastosowaniu do równań różniczkowych cząstkowych. W szczególności, z wykorzystaniem bezpośredniej metody rachunku wariacyjnego, twierdzenia o przełęczy górskiej oraz techniki rozmaitości Nehariego wykażemy istnienie rozwiązań dla pewnych problemów eliptycznych.
Pełny opis:

1. Wstęp do przestrzeni Sobolewa. Przestrzeń H^1 i jej własności.

2. Słabe rozwiązanie zagadnienia Dirichleta. Funkcjonał energii.

3. Bezpośrednia metoda rachunku wariacyjnego.

4. Ciągi Palais-Smale’a i ich ograniczność (warunek Ambrosetti-Rabinowitza). Zasada Ekelanda.

5. Twierdzenie o górskiej przełęczy z zastosowaniami.

6. Metoda rozmaitości Nehariego w sytuacji gładkiej.

7. Homeomorfizm rozmaitości Nehariego ze sferą w przestrzeni Hilberta. Zastosowanie do równań z brakiem regularności rozmaitości Nehariego.
Literatura:

M. Willem: Minimax theorems, Birkhäuser 1997

M. Struwe: Variational methods, Springer-Verlag 2008

M. Badiale, E. Serra: Semilinear Elliptic Equations for Beginners, Springer-Verlag 2011

A. Szulkin, T. Weth: Ground state solutions for some indefinite variational problems, Journal of Functional Analysis, Volume 257, Issue 12 (2009)
Efekty uczenia się:

1. Zna pojęcie przestrzeni Sobolewa H^1, słabej pochodnej i podstawowe ich własności, pojęcie wariacyjnego funkcjonału energii oraz słabych rozwiązań.

2. Zna i potrafi zastosować bezpośrednią metodę rachunku wariacyjnego.

3. Zna pojęcia ciągu Palais-Smale’a, zna i rozumie warunku gwarantujące jego ograniczoność (w szczególności – warunek Ambrosetti-Rabinowitza).

4. Zna i potrafi wykazać twierdzenie o górskiej przełęczy.

5. Stosuje twierdzenie o przełęczy górskiej do wykazania istnienia nietrywialnego rozwiązania.

6. Zna pojęcie rozmaitości Nehariego i jej podstawowe własności.

7. Potrafi zastosować technikę rozmaitości Nehariego do uzyskania istnienia rozwiązań o najmniejszej energii (rozwiązań w stanie podstawowym).
Metody i kryteria oceniania:

Egzamin pisemny.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2024/25" (zakończony)

Okres: 2024-10-01 - 2025-01-26
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Bartosz Bieganowski
Prowadzący grup: Bartosz Bieganowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki.
ul. Pasteura 5, 02-093 Warszawa tel: +48 22 5532 000 https://www.fuw.edu.pl/ kontakt deklaracja dostępności mapa serwisu USOSweb 7.3.0.0-4 (2026-03-10)