Zaawansowany kurs równań różniczkowych cząstkowych

monograficzne

Przegląd bardziej zaawansowanych zagadnień teorii równań różniczkowych cząstkowych: gładkość rozwiązań równań eliptycznych, metoda ilorazów różnicowych, teoria Fredholma, elementy teorii Schaudera, teorii półgrup, metody wariacyjne.

Gładkość słabych rozwiązań równań eliptycznych. Rozmaite zastosowania metody różnic skończonych. (2 wykłady)

Nierówność Gardinga. Istnienie rozwiązań równań eliptycznych z wyrazami niższego rzędu (metodą zwartości). (1 wykład)

Teoria Fredholma w przestrzeniach Hilberta. Operatory zwarte i alternatywa Fredholma. Wartości własne i wektory własne i elementy teorii spektralnej. Zastosowania do operatorów eliptycznych ze szczególnym uwzględnieniem zagadnienia własnego dla operatora Laplace'a. (3 wykłady)

Metody wariacyjne. Półciągłość z dołu funkcjonałów na przestrzeniach Banacha. Słabe rozwiązania (niekoniecznie liniowych) równań eliptycznych jako minima funkcjonałów. Przykładowe zastosowania: p-laplasjan. Twierdzenie o przełęczy górskiej. Przykłady niejednoznaczności rozwiązań nieliniowych równań eliptycznych. (4 wykłady)

Półgrupy mocno ciągłe, twierdzenie Hille'a-Yosidy. Zastosowania do równań hiperbolicznych i parabolicznych. Teoria potoków gradientowych. (3 wykłady)

Elementy teorii oszacowań schauderowskich. Twierdzenia o punkcie stałym: twierdzenie Schaudera, twierdzenie Leraya-Schaudera. Metoda operatorów monotonicznych. Zastosowania. (2 wykłady)

L.C.Evans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002

D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order. Springer-Verlag, Berlin 1983

J.L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Edit. Dunod, Paryż 1969

Student:

- zna twierdzenia o punkcie stałym (twierdzenie Banacha, Schaudera, Leraya-Schaudera) i potrafi je stosować w dowodach istnienia rozwiązań równań różniczkowych

- zna alternatywą Fredholma

- zna definicję półgrupy i generatora infinitezymalnego

- potrafi wskazać zastosowania tw. Hille-Yoshidy w równaniach różniczkowych

- posługuje się nierównościami Sobolewa i Holdera w dowodzeniu oszacowań energetycznych

- potrafi sformułować słabą postać równania różniczkowego

- potrafi posługiwać się metodą Galerkina

- umie stosować metodę zwartości

- potrafi wyprowadzić równania Eulera-Lagrange'a dla zadanego funkcjonału i zbadać istnienie słabych rozwiązań

- zna warunki istnienia funkcji minimizujących funkcjonał

- umie podać charakteryzację wariacyjną dla minimum funkcjonału

- zna metodę monotoniczności