Matematyka

obowiązkowe

mieszany: w sali i zdalnie
w sali

Podstawowe zagadnienia z analizy matematycznej funkcji jednej i wielu zmiennych. Elementy algebry liniowej (liczby zespolone, macierze i działania na nich, układy równań liniowych i ich rozwiązywanie, przestrzenie liniowe, przekształcenia liniowe i ich wartości własne).

Powtórzenie i wprowadzenie: rozumowanie w matematyce, logika, najprostsze sposoby dowodzenia: indukcja matematyczna oraz sprowadzenie do niedorzeczności. Logarytmy i funkcje trygonometryczne. Pojęcie funkcji odwrotnej na przykładzie logarytmu i funkcji cyklometrycznych.

Liczby zespolone --- definicja ciała liczbowego, mnożenie liczb zespolonych, istnienie odwrotności niezerowej liczby zespolonej, postać trygonometryczna, wzory de Moivre'a. Nierówność trójkąta.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych --- przykłady oraz uzasadnienie wzoru na pierwiastki.

Twierdzenie o pierwiastku sprzężonym dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych.

Sformułowanie zasadniczego twierdzenia algebry.

Wniosek z zasadniczego twierdzenia algebry: rozkład wielomianów o współczynnikach rzeczywistych na czynniki stopnia co najwyżej dwa.

Macierze i układy równań liniowych. Zbiór rozwiązań układu równań liniowych.

Wyznacznik jako miernik istnienia jednoznacznego rozwiązania.

Definicja wyznacznika przez rozwinięcie względem pierwszej kolumny.

Rozwinięcie Laplace'a.

Wyprowadzenie wzoru Sarrusa i analiza wyniku, czyli wzór permutacyjny.

Wzory Cramera dla układu n równań z n niewiadomymi.

Eliminacja Gaussa.

Macierz odwrotna i dwa sposoby jej policzenia (eliminacja Gaussa na długich wierszach oraz wzór).

Twierdzenie Kroneckera-Capelli.

Definicja rzędu. Kryterium minorowe na rząd macierzy.

Podnoszenia macierzy diagonalizowalnych do wysokich potęg.

Ciągi liczbowe. Kresy zbioru liczbowego. Granice i arytmetyka granic. Wyjątki --- kiedy arytmetyka nie działa?

Szereg geometryczny. Twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenia o granicy ciągu monotonicznego i ograniczonego.

Nierówność Bernoulliego.

Definicja liczby e czyli zbieżność ciągu (1+1/n)^n.

Ważne przykłady ciągów zbieżnych: geometryczny oraz pierwiastek n-tego stopnia z n.

Definicja funkcji wykładniczej i logarytmicznej oraz podstawowe nierówności z nią związane.

Ciągłość funkcji. Twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów. Pochodna funkcji. Zerowanie się pochodnej w lokalnym ekstremum. Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a. Reguła de l'Hospitala.

Kombinacje punktów. Punkty na odcinku są średnimi ważonymi końców. Zbiory wypukłe.

Definicja wypukłości: pole nad wykresem jest zbiorem wypukłym.

Związek wypukłości funkcji z drugą pochodną oraz styczną.

Przybliżanie wielomianem Taylora.

Całki. Fakt, że pochodna funkcji pierwotnej to funkcja podcałkowa, przy założeniu ciągłości funkcji podcałkowej. Funkcja pierwotna liczy pole pod wykresem funkcji podcałkowej.

Całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie z przykładami i wyprowadzenia tych wzorów.

Całka oznaczona.

Pole koła oraz objętość kuli --- rachunek.

Całki niewłaściwe.

Funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych.

Wizualizacja wykresów funkcji x+y, x^2+y^2 oraz x^2-y^2.

Ciągowa definicja granicy funkcji dwóch zmiennych w punkcie. Przykłady sposobów dowodzenia istnienia i nie istnienia granicy.

Twierdzenie Weierstrassa i algorytm znajdowania kresów.

Definicja punktów krytycznych: zerowanie się gradientu. Klasyfikacja za pomocą macierzy drugiej pochodnej --- informację rozstrzygającą mamy wyłącznie dla dodatnio lub ujemnie określonej macierzy, czyli spełniających kryterium Sylwestera.

Przykłady analizy charakteru punktów krytycznych funkcji dwóch zmiennych, gdy kryterium Sylwestera nie ma zastosowania oraz przykłady szukania ekstremum funkcji na zbiorze zwartym.

Równania różniczkowe.

Przykład najprostszy, x'=x, wraz z rysunkiem pola wektorowego i dowodu, że krzywe całkowe pokrywają płaszczynę.

Równanie o zmiennych rozdzielonych wraz ze sformułowaniem dla tego przypadku twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań.

Przykład, gdzie nie ma jednoznaczności rozwiązań, x'=3x^2/3.

Ogólniejsza wersja twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności, czyli równanie x'=f(x,t), gdzie f i jej pochodna cząstkowa po x są ciągłe w okolicy warunku początkowego.

Rozwiązywanie równań liniowych metodą uzmienniania stałej.

Całkowity nakład pracy studenta: 350 godzin, w tym:

- udział w zajęciach: 120 godzin,

- konsultacje z prowadzącymi i udział w egzaminie: 30 h,

- praca własna: 200 h.

K_W04 - zna i rozumie w zaawansowanym stopniu pojęcia z zakresu matematyki umożliwiająca posługiwanie się aparatem matematycznym w chemii i naukach biomedycznych.

Po zajęciach student posiada niezbędną wiedzę z zakresu matematyki, która pozwala mu swobodnie stosować operacje matematyczne w dyscyplinie chemii.

W czasie semestru można zdobyć w sumie 150 punktów:

- 30 punktów za odbywające się co tydzień kartkówki, na każdej można zdobyć maksymalnie 3 punkty,

- 20 punktów za aktywność na ćwiczeniach: rozwiązywanie zadań przy tablicy, zadawanie pytań, podawanie częściowych pomysłów na rozwiązanie zadania,

- 50 punktów za pierwsze kolokwium,

- 50 punktów za drugie kolokwium.

Do egzaminu zostają dopuszczone osoby, które zdobędą co najmniej 60% punktów w czasie semestru.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. W pierwszym terminie część pisemna jest traktowana jako trzecie kolokwium, a część ustna obejmuje materiał z całego semestru. Do części ustnej dopuszczone są osoby, które uzyskają minimum 40% punktów z egzaminu pisemnego. Dopuszczenie do części ustnej nie oznacza zdanego egzaminu.

Do egzaminu w terminie poprawkowym dopuszczeni są wszyscy, niezależnie od sumy uzyskanych w ciągu semestru punktów.

Egzamin składa się z części pisemnej i ustnej. W terminie poprawkowym obie części obejmują materiał z całego semestru. Do części ustnej dopuszczone są osoby, które uzyskają minimum 40% punktów z egzaminu pisemnego. Dopuszczenie do części ustnej nie oznacza zdanego egzaminu.

Do egzaminu poprawkowego można przystąpić również celem poprawienia oceny otrzymanej w pierwszym terminie; jest też możliwe jej obniżenie.