Algebra II

fakultatywne

Elementy teorii grup, teorii ciał, teorii modułów i teorii pierścieni nieprzemiennych. Teoria grup: grupy wolne, grupy rozwiązalne i produkty półproste grup. Teoria ciał: teoria Galois i jej zastosowania. Teoria modułów: struktura modułów skończenie generowanych nad dziedzinami ideałów głównych. Pierścienie nieprzemienne: algebry macierzy, algebry z dzieleniem, twierdzenie Frobeniusa, algebry wielomianów skośnych i algebry Weyla.

1. Elementy teorii grup.

i) Grupy wolne, prezentacje grup (zadawanie grup poprzez generatory i relacje)

ii) Produkt półprosty grup. Ciąg dokładny, rozszczepialność.

iii) Grupy rozwiązalne; komutant grupy, rozwiązalność grup S_n dla n < 5.

iv) Grupy proste; prostota grup A_n, n > 4.

(2-3 wykłady)

2. Elementy teorii ciał.

i) Rozszerzenia ciał, grupa automorfizmów rozszerzenia. Rozszerzenie o pierwiastek

wielomianu, ciało rozkładu wielomianu, rozszerzenia normalne, własność uniwersalna rozszerzenia normalnego.

Rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała - konstrukcja i jednoznaczność.

Pierwiastki z jedności. Ciała o p^n elementach (istnienie).

(2 wykłady)

ii) Teoria Galois w przypadku charakterystyki zero i rozszerzeń skończonych.

Wielomian nierozkładalny w charakterystyce 0 nie ma pierwiastków wielokrotnych. Twierdzenie

Abela. Rozszerzenia Galois. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois.

(3 wykłady)

iii) Zastosowania teorii ciał.

Konstrukcje geometryczne (tylko łatwa implikacja: konstruowalność implikuje, że stopień rozszerzenia jest potęgą dwójki).

Rozszerzenia rozwiązalne, rozwiązywanie równań przez pierwiastniki.

(2 wykłady)

3. Elementy teorii modułów

i) Moduły; suma prosta, moduły skończenie generowane, elementy torsyjne.

ii) Homomorfizmy modułów, jądro, moduł ilorazowy, ciąg dokładny modułów, rozszczepialność.

Moduły wolne.

iii) Klasyfikacja skończenie generowanych modułów nad DIG. Wnioski: klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych oraz twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy.

(3 wykłady)

4. Elementy teorii pierścieni nieprzemiennych.

i) Przykłady: pierścienie endomorfizmów przestrzeni liniowych, pierścienie macierzy, ideały jednostronne, pierścienie proste (na przykład macierze nad ciałem).

ii) Pierścienie z dzieleniem, algebra kwaternionów Hamiltona; (ewentualnie zastosowania w ramach ćwiczeń -obroty w R3 jako kwaterniony). Twierdzenie Frobeniusa o algebrach z dzieleniem skończonego wymiaru nad R.

iii) Algebra Weyla (w charakterystyce 0) – opis i interpretacja w języku algebry operatorów różniczkowych i algebry skośnych wielomianów; dowód rezultatu mówiącego, że jest to prosta dziedzina.

(2-3 wykłady)

A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl. Mat. 63, PWN, 1987.

J. Browkin, Teoria ciał, Bibl. Mat. 49, PWN, 1977.

M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, 1981.

I. Kostrykin, Wstęp do Algebry 3. Podstawowe struktury algebraiczne, PWN, 2005.

I. Kostrykin, Zadania z algebry, PWN, 2005.

T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, 1991.

T.Y. Lam, Exercises in Classical Ring Theory, second edition, Springer, 2003.

1. Student zna podstawowe pojęcia dotyczące algebraicznych rozszerzeń ciał i grup rozwiązalnych i umie się nimi posługiwać.

2. Student zna główne twierdzenia z zakresu teorii Galois i jej zastosowań do konstrukcji geometrycznych i do rozwiązywania równań algebraicznych.

3. Student umie wyznaczyć grupę Galois skończonego rozszerzenia ciał i umie ilustrować na przykładach zasadnicze twierdzenie teorii Galois w charakterystyce zero.

4. Student zna podstawowe pojęcia teorii modułów nad pierścieniami oraz potrafi sformułować twierdzenie o opisie modułów skończenie generowanych nad dziedzinami ideałów głównych.

5. Student zna podstawowe pojęcia i ważne przykłady teorii pierścieni nieprzemiennych.

6. Student zna konstrukcje algebry kwaternionów Hamiltona, algebry Weila, algebry wielomianów skośnych i ich podstawowe własności.

Punkty przyznawane są za: zadania domowe; jedno kolokwium; egzamin pisemny

Liczba możliwych do zdobycia punktów: 25 + 50 + 125 = 200

Ocena końcowa na podstawie sumy uzyskanych punktów