Analiza matematyczna I.2*

fizyka
matematyka

obowiązkowe

Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Analiza matematyczna I.1.

Program taki jak w potokach I i II, ale przedstawiony w sposób bardziej pogłębiony.

Technika różniczkowania (pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu), pochodna złożenia funkcji i pochodna funkcji odwrotnej. Twierdzenia o wartości średniej (Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego). Kryteria monotoniczności funkcji różniczkowalnych. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema lokalne. Pochodne drugiego i wyższych rzędów, wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange'a i Cauchy'ego. Wielomiany Taylora funkcji wykładniczej, logarytmu, sinusa, kosinusa, arkusa sinusa i arkusa tangensa. Punkty przegięcia. Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego lub punktu przegięcia. Funkcje klasy C^k. (7-9 wykładów)

Ciąg funkcyjny i szereg funkcyjny. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu i szeregu funkcyjnego. Jednostajny warunek Cauchy'ego, kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego. Twierdzenie o ciągłości granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych, twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami (np. wielomiany Bernsteina). (5-6 wykładów).

Szereg potęgowy, promień zbieżności i przedział zbieżności. Zbieżność jednostajna i bezwzględna szeregu potęgowego. Twierdzenie Abela o ciągłości szeregu potęgowego w końcu przedziału. Rozwinięcia funkcji elementarnych. (3-4 wykłady).

Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) i całka oznaczona funkcji ciągłej. Całkowanie przez podstawienie i przez części. Reszta całkowa we wzorze Taylora. Całkowanie funkcji wymiernych (ułamki proste). Sumy Riemanna, aproksymacja całki z funkcji ciągłej sumami Riemanna. Całkowalność w sensie Riemanna funkcji ciągłej. Interpretacja geometryczna. Długość wykresu funkcji jako kres górny długości łamanych wpisanych w ten wykres, wzór całkowy na długość wykresu funkcji klasy C^1. Całki z parametrem i rózniczkowanie całek z parametrem. Gamma-funkcja Eulera, wzory Wallisa i Stirlinga. Przykładowe zastosowania rachunku całkowego, np. obliczanie pól i objętości brył obrotowych, niewymierność liczby e. (9-11 wykładów wykładów).

Uwaga: układ materiału podczas semestru może podlegać drobnym modyfikacjom.

A. Birkholc, Analiza matematyczna dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1977

B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin 1992 (tom I) i 1993 (tomy II i III).

G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom. II i III, PWN, Warszawa 1999.

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979.

W. Pusz, K. Strasburger, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydział Fizyki UW, Warszawa 1982.

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2000.

0. Potrafi uzasadnić poprawność swoich rozumowań. Operuje przykładami.

1. Zna metody obliczania pochodnych i najważniejsze twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, w tym twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora i regułę de l'Hospitala. Stosuje typowe narzędzia rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, m.in. wyznacza ekstrema lokalne, przedziały monotoniczności i wypukłości oraz kresy funkcji zmiennej rzeczywistej, a także rozwiązuje zadania optymalizacyjne. Posługuje się wzorem Taylora do obliczania granic.

2. Zna pojęcie zbieżności punktowej i jednostajnej ciągu i szeregu funkcyjnego, kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej, twierdzenie o ciągłości granicy zbieżnego jednostajnie ciągu / szeregu funkcji ciągłych i twierdzenie o różniczkowaniu ciągów funkcyjnych. Potrafi badać zbieżność jednostajną ciągów funkcyjnych i dowodzić ciągłości lub różniczkowalności granic takich ciągów.

3. Zna pojęcie szeregu potęgowego i najważniejsze własności funkcyjne sumy takiego szeregu. Zna wzór Cauchy'ego-Hadamarda. Określa promień zbieżności szeregu potęgowego; potrafi wykorzystać twierdzenie o różniczkowalności szeregów funkcyjnych do sumowania konkretnych szeregów.

4. Zna pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej; potrafi całkować przez części i przez podstawienie; orientuje się, jakie klasy funkcji są całkowalne w kwadraturach takimi metodami.

5. Zna pojęcie całki oznaczonej, definicję całki Riemanna i jej interpretację geometryczną. Zna związek całki oznaczonej z nieoznaczoną. Stosuje narzędzia rachunku całkowego w zadaniach o charakterze geometrycznym. Oblicza pole pod wykresem, długość krzywej, objętości i pola powierzchni brył obrotowych.

6. Zna pojęcie całki niewłaściwej oraz przykłady funkcji, zdefiniowanych za pomocą takich całek. Wykorzystując różne metody, bada zbieżność całek niewłaściwych.

ocena na podstawie kolokwiów, pracy na ćwiczeniach i egzaminu.