Algebra liniowa

obowiązkowe

Wymagania wstępne

Zajęcia przeznaczone dla wszystkich studentów pierwszego roku studiów ekonomicznych. Wymagana znajomość matematyki na poziomie maturalnym.

Celem kursu jest prezentacja podstawowych zagadnień i metod algebry liniowej.

Obejmują one: układy równań liniowych i sposoby ich rozwiązywania, przestrzenie liniowe, a w nich liniową niezależność układów wektorów , bazy i wymiar przestrzeni, przekształcenia liniowe i ich reprezentacje macierzami , rząd macierzy, wyznacznik macierzy, wektory własne i wartości własne , diagonalizację macierzy i jej zastosowania, iloczyn skalarny i formy kwadratowe. Ponadto przedstawiamy zastosowanie algebry liniowej do programowania liniowego.

Zamiarem kursu jest nie tylko opanowanie technik algebry liniowej, lecz także rozwój zdolności studentów do logicznego rozumowania, jak również przygotowanie do zastosowań

algebry liniowej w ekonomii.

1. Układy równań liniowych: rozwiązania szczególne i rozwiązanie ogólne, macierz układu, elementarne operacje macierzowe, rozwiązywanie poprzez eliminację Gaussa.

2. Przestrzenie liniowe (czyli wektorowe): przykłady, podprzestrzenie ,kombinacja liniowa wektorów, niezależność liniowa układu wektorów ,baza i wymiar przestrzeni liniowej , współrzędne wektora w bazie.

3.Przekształcenia liniowe: przykłady, macierz przekształcenia liniowego w bazach. Działania na przekształceniach i macierzach, algebra macierzy.

4.Wyznaczniki: własności i metody obliczania.

5. Macierz odwrotna i transponowana, ich obliczanie.

6. Rząd macierzy: jego związki z operacjami elementarnymi i

wyznacznikiem.

7. Zastosowanie rzędu macierzy i wyznacznika do rozwiązywania układów równań liniowych. Twierdzenia Kroneckera-Capelliego i Cramera.

8. Wartości własne i wektory własne przekształcenia. Wielomian charakterystyczny macierzy. Znajdowanie wartości własnych i przestrzeni własnych przekształcenia linowego. Macierze diagonalne i dagonalizowalne.

9. Zastosowania diagonalizacji macierzy .

10. Podprzestrzenie afiniczne czyli warstwy przestrzeni liniowej. Przekształcenia afiniczne.

11. Standardowy iloczyn skalarny : norma wektora, układy ortogonalne wektorów, bazy ortogonalne i ortonormalne, procedura Grama-Schmidta. Rzuty i symetrie prostopadłe.

12. Formy kwadratowe: przykłady, ma Prostopadłe cierz formy. Kryterium Silvestera dodatniej określoności formy. Zastosowanie wartości własnych do określoności i półokreśloności form.

!3. Podstawy programowania liniowego. Metoda sympleks.

Wykłady z Algebry Liniowej I. Tadeusz Koźniewski, MIMUW 2008.

Algebra liniowa w zadaniach. Jerzy Rutkowski. PWN 2008.

Matematyka dla studentów ekonomii. Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. PWN 2009.

Algebra dla studentów. Julian Klukowski, Ireneusz Nabiałek. WNT 1999.

Elementy algebry liniowej. Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda. WNT 2002

Zdolność rozumienia algebry liniowej i jej stosowania w statystyce, ekonometrii i modelowaniu podejmowania decyzji. Opanowanie podstawowych technik rozwiązywania układów równań liniowych, umiejętność znajdowania baz i wymiarów przestrzeni, określania rzędu macierzy, obliczania wyznacznika, znajdowania wektorów własnych, sprawdzania dodatniej i ujemnej określoności i półokreśloności form kwadratowych. Umiejętność sformułowania i rozwiązania prostego modelu programowania liniowego.

Ocena końcowa jest określana na podstawie sumy wyniku punktowego z ćwiczeń, obejmującego punkty ze sprawdzianów, prac domowych i aktywności na zajęciach (łącznie 30 punktów) oraz wyniku egzaminu końcowego, na którym można uzyskać 70 punktów.