Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Student proseminar on “Methods of Higher Algebra and Geometry in Physics”

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1100-5sMHA
Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Student proseminar on “Methods of Higher Algebra and Geometry in Physics”
Jednostka: Wydział Fizyki
Grupy: Fizyka i astronomia; seminaria (Lista S)
Punkty ECTS i inne: 4.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

proseminaria

Założenia (opisowo):

): Proseminarium jest adresowane do studentów z ponad-elementarną kulturą matematyczną i predyspozycjami do jej wykorzystania w nakreślonym wyżej kontekście fizykalnym. Jego naturalnymi odbiorcami są studenci specjalności fizyka teoretyczna i fizyka matematyczna, ale także – studenci matematyki. Prerekwizyty to kurs analizy i algebry oraz geometrii różniczkowej. Mile widziana jest znajomość podstaw teorii grup i algebr, w tym – grup i algebr Liego.

Tryb prowadzenia:

mieszany: w sali i zdalnie

Pełny opis:

Proseminarium będzie poświęcone dyskusji zastosowań metod wyższej algebry oraz wyższej geometrii w matematycznie rygorystycznym i kwantowomechanicznie spójnym modelowaniu dynamiki obiektów zwartych (cząstek punktowych, pętli, membran itp.) oraz pól nad czasoprzestrzenią w obecności ładunku topologicznego, w opisie symetrii tejże dynamiki i jej cechowania. Przedmiotem rozważań szczegółowych będą niskowymiarowe modele sigma dynamiki geodezyjnej rozciągłych rozkładów energii i ładunku w zewnętrznym polu grawitacyjnym zaburzonej przez geometryczne sprzężenie typu Wessa-Zumino zewnętrznego pola p-formy (uogólniającego pole elektromagnetyczne) do ładunku topologicznego, np. model Wessa-Zumino-Wittena dwuwymiarowej wymiernej konforemnej teorii pola na zwartej grupie Liego, jak również – modele topologicznej teorii pola z symetrią cechowania, np. trójwymiarowa teoria Cherna-Simonsa. Zostaną omówione podstawowe konstrukcje niezbędne do ścisłego sformułowania takich modeli w reżymie klasycznym, identyfikacji ich symetrii oraz cechowania tych ostatnich w uniwersalnym schemacie wykraczającym istotnie poza schemat sprzężenia minimalnego, a także – ich geometrycznego wzgl. funktorialnego kwantowania poprzez tzw. transgresję kohomologiczną uzgodnioną z symetriami, tj. w istocie poprzez konkretną realizację programu Diraca. Omówione też zostaną dualności w przestrzeni modułów tego typu teorii i odpowiadające im wyżej-geometryczne oraz -kategorialne obiekty. Wszystkie te rozważania zostaną wpisane w szeroki kontekst teorii pola z defektami i określą punkt wyjścia do dyskusji tzw. emergentnej geometrii modeli sigma, w tym – jej postaci nieprzemiennej oraz fazy nie-riemannowskiej (tzw. T-foldy). Narzędzia i konstrukcje kohomologiczne i teoriokategorialne znajdą też zastosowanie w klasyfikacji nierównoważnych teorii opisanego typu, jak również – obstrukcji wobec cechowania ich symetrii sztywnych i klasyfikacji cechowań nierównoważnych. Rozważania, prowadzone pierwotnie w kategorii geometrycznej bez gradacji, zostaną następnie przeniesione do kategorii supergeometrycznej z użyciem wprowadzonych wcześniej elementów teorii snopów, co pozwoli m.in. wyjaśnić strukturę klasycznych modeli teorii pola o statystyce Fermiego-Diraca. Włączenie do zakresu tych rozważań supersymetrii, na gruncie wprowadzonego uprzednio pojęcia supergrupy Liego i jej przestrzeni jednorodnej, pozwoli na dyskusję szerokiej klasy modeli teoriopolowych o statystyce mieszanej w równowadze, a zarazem – po stronie wyżej-kohomologicznej i -geometrycznej – uwypukli rolę kohomologii niezmienniczych oraz kohomologii superalgebr Liego.

Plan proseminarium:

1. Dynamika w topologicznie nietrywialnych zewnętrznych polach p-form – potrzeba i konsekwencje konstrukcji wyżej-geometrycznych (wiązki liniowe, wiechcie wiązek etc.)

2. Elementy algebry homologicznej: kompleksy (ko)łańcuchów i ich kohomologie, kohomologia snopowa, dwoistości kohomologiczne, hiperkohomologie w opisie wiązek i wiechci wiązek ze strukturą konektywną.

3. Elementy teorii (wyższych) kategorii.

4. Transgresja kohomologiczna a (pre)kwantowanie geometryczne. Zastosowania charakterów różniczkowych Cheegera-Simonsa.

5. Symetrie sztywne geometrodynamiki w modelach sigma i ich cechowanie poza schematem sprzężenia minimalnego.

6. Kohomologia ekwiwariantna w opisie cechowania symetrii i jej geometryzacje oraz implementacja cechowania poprzez sieci defektów czasoprzestrzennych. Znaczenie struktur algebroidalnych i grupoidalnych stowarzyszonych z działaniem grupy symetrii sztywnych w procedurze cechowania i kwantyfikacji obstrukcji (anomalii cechowania).

7. Odpowiedniość między defektami niskowymiarowych teorii pola i ich dualnościami. Defekty symetryczne i topologiczne.

8. Nie-riemannowska geometria emergentna (T-foldy) – obraz wyżej-geometryczny i implementacja w postaci sieci defektów.

9. Supergeometria różniczkowa w opisie snopowym i funktorialnym (sformułowanie Berezina-Leitesa-Kostanta) oraz w języku wiązek wektorowych (sformułowanie De Witta-Rogers).

10. Superalgebry Liego. Supergrupy w opisie snopowym i w sformułowaniu Kostanta (pary super-Harish-Chandra) oraz ich stycznościowe superalgebry Liego. Supergeometrie z działaniem supergrup, w tym: przestrzenie jednorodne.

11. Kohomologia niezmiennicza i jej interpretacja topologiczna Rabina-Crane'a. Kohomologia (super)algebr Liego (w tym: Cartana-Eilenberga) i naturalne supergeometryzacje jej klas. Związek z wyższymi supergrupami Liego.

12. Elementy teorii algebr Clifforda i wiązek spinorowych (z działaniem wiązek Clifforda), z uwzględnieniem kohomologicznej klasyfikacji obstrukcji wobec ich istnienia (klasy Stieffela-Whitneya).

13. Funktorialne modele dynamik o kowariantnych wiązkach konfiguracyjnych z Z/2Z-gradacją.

14. Super-modele sigma, ich wyższa supergeometria i defekty supersymetryczne.

Literatura:

Literatura i inne materiały dydaktyczne oraz notatki wykładowe na stronie internetowej proseminarium:

https://www.fuw.edu.pl/~suszek/2021MAiGWwF.html

Efekty uczenia się:

Wiedza: Zrozumienie istoty, naturalności i przydatności pojęć i konstrukcji kohomologicznych i wyżej geometrycznych w opisie zjawisk z udziałem ładunku topologicznego.

Umiejętności: Rozwiązywanie prostych zadań z użyciem narzędzi wyżej kohomologicznych i wyżej geometrycznych.

Postawa: Precyzja myślenia i dążenie do głębszego zrozumienia natury zjawisk z udziałem ładunku topologicznego.

Metody i kryteria oceniania:

ciągła ocena aktywności uczestników na podstawie zaangażowania w prezentacje i dyskusje

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2023/24" (w trakcie)

Okres: 2024-02-19 - 2024-06-16
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Proseminarium, 45 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Rafał Suszek
Prowadzący grup: (brak danych)
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Zaliczenie na ocenę
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki.
ul. Pasteura 5, 02-093 Warszawa tel: +48 22 5532 000 https://www.fuw.edu.pl/ kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)