Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki - Centralny System Uwierzytelniania
Strona główna

Analiza Fouriera

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M10AF
Kod Erasmus / ISCED: 11.154 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu: Analiza Fouriera
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia
Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne: 6.00 Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS:
  • roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS;
  • tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h;
  • 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się;
  • tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS;
  • nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta.

zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu.

Pełny opis:

Współczesna analiza matematyczna wymaga głębokiego spojrzenia na własności funkcji, w szczególności pojęcia takie jak różniczkowanie, całkowanie czy nawet mnożenie daleko odbiegają od swoich klasycznych odpowiedników. Rozwój w tym kierunku został wymuszony przez matematykę stosowaną, reprezentowaną głównie przez równania cząstkowe i metody numeryczne. Wykład swój chciałbym skoncentrować na narzędziach analizy fourierowskiej, przedstawiając spójną teorię wymaganą przez aktualną matematykę.

Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu. Na ćwiczeniach analizowane będą konkretne przykłady jak również rozwiązywać będziemy szczególne zagadnienia z równań cząstkowych związanych z tzw. maksymalną i optymalną regularnością.

Plan wykładu:

1. Podstawowe własności funkcji;

2. Przestrzenie Besova i Triebla, elementy teorii interpolacji

3. Funkcja maksymalna i operatory Zygmunda;

4. Wagi A_p;

5. L_p=F^0_{p,2};

6. Twierdzenia Marcinkiewicza o mnożnikach;

7. Spojrzenia na przypadki graniczne - przestrzenie BMO i Hardy'ego.

8. Paraprodukty i twierdzenia o włożeniu;

9. Zastosowania w równaniach cząstkowych.

Na wykład zapraszam osoby zainteresowane szeroko rozumianą analizą matematyczną. Wykład nie zakłada wiedzy z RRCzI, wymaga znajomości całki Lebesguea oraz elementów analizy funkcjonalnej.

Literatura:

1. J. Duoandikoetxea, Fourier analysis. AMS, Providence, RI, 2001.

2. M.E. Taylor, Tools for PDE. Pseudodifferential operators, paradifferential operators, and layer potentials. AMS, Providence, RI, 2000.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2023/24" (zakończony)

Okres: 2023-10-01 - 2024-01-28
Wybrany podział planu:
Przejdź do planu
Typ zajęć:
Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Mucha
Prowadzący grup: Piotr Mucha, Remy Rodiac
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki.
ul. Pasteura 5, 02-093 Warszawa tel: +48 22 5532 000 https://www.fuw.edu.pl/ kontakt deklaracja dostępności USOSweb 7.0.3.0 (2024-03-22)