Algebry skończenie wymiarowe i reprezentacje liniowe

fakultatywne

Wykład ma na celu przedstawienie klasycznych rezultatów dotyczacych struktury i teorii reprezentacji

liniowych algebr skonczonego wymiaru nad ciałem. Omówione beda: odpowiedniosc pomiedzy teoria

modułów i teoria reprezentacji, moduły proste, radykał algebry i klasykacja półprostych algebr łacznych.

Podane beda zastosowania do teorii reprezentacji grup skonczonych, poprzez rezultaty dotyczace algebr

grupowych i teorie charakterów grup. Omówione zostana przykłady zastosowan. Podane beda podstawowe

informacje o skonczenie wymiarowych algebrach Lie’go i ich reprezentacjach. Jako narzedzie w tej teorii,

omówione zostana algebry obwiednie i ich własnosci.

1. Skonczenie wymiarowe algebry łaczne nad ciałem.

Pojecie i przykłady algebr, algebry skonczenie wymiarowe. Algebry proste i algebry z dzieleniem.

Moduły nad algebrami łacznymi, moduły półproste i proste. Radykał algebry łacznej. Twierdzenie

Wedderburna o strukturze algebr półprostych. Lemat Schura. Struktura skonczenie generowanych

modułów nad algebrami półprostymi. Algebry grupowe. Twierdzenie Maschke. Moduły nierozkładalne,

lemat Fittinga i twierdzenie Krulla-Schmidta.

2. Reprezentacje grup.

Reprezentacje nieprzywiedlne i całkowicie przywiedlne. Slady endomorzmów i charaktery. Ortogonalnosc

charakterów. Rozszerzenia całkowite. Reprezentacje skonczonych grup abelowych i grup

symetrycznych. Przykłady zastosowan, np. dowód twierdzenia o rozwiazalnosci grup rzedu pkqn.

3. Skonczenie wymiarowe algebry Lie’go i ich reprezentacje.

Definicja i przykłady. Radykał rozwiazalny. Algebry półproste oraz informacja o twierdzeniu strukturalnym

dla algebr prostych nad ciałem liczb zespolonych. Reprezentacje liniowe. Algebry obwiednie

i twierdzenie Poincare-Birkhoffa-Witta. Algebra łaczna wolna i „diamond lemma” jako narzedzie w

dowodzie.

1. J. Browkin, Teoria Reprezentacji Grup Skonczonych, PWN Warszawa, 2010.

2. C.W. Curtis, I. Reiner Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Interscience

Publ. 1962.

3. K. Erdmann, M.J. Wildon, Introduction to Lie Algebras, Springer, 2006.

4. J.E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1980.

5. Y.T. Lam, A First Course in Noncommutative Rings , Springer-Verlag, 1991.

6. Y.T. Lam, Exercises in Classical Ring Theory, Springer-Verlag, 2003.

7. R.S. Pierce, Associative Algebras, Springer-Verlag, 1982.

8. J.-P. Serre, Reprezentacje Liniowe grup skonczonych. PWN, Warszawa 1998.

1. Zna pojecia algebry, ideału, modułu i podmodułu nad algebra, a takze podstawowe konstrukcje algebr

i modułów. Zna pojecie modułu prostego i półprostego oraz ich charakteryzacje. Potrafi opisywac

elementy ideałów i podmodułów generowanych przez zbiory oraz podawac rózne przykłady algebr.

2. Zna pojęcie homomorfizmów algebr i modułów oraz twierdzenia o izomorfizmie i zanurzania algebr w algebry macierzy oraz lemat Schura.

3. Zna pojecie radykału algebry i algebry półprostej oraz twierdzenia Wedderburna i Maschke. Potrafi

opisać strukture skonczenie wymiarowych modułów nad skonczenie wymiarowymi algebrami

półprostymi. Potrafi stosowac te pojecia i fakty do opisu struktury algebr skonczenie wymiarowych

i klasyfikacji algebr niskiego wymiaru;

4. Zna pojecie modułu nierozkładalnego, pojecie algebry lokalnej i zwiazek pomiedzy tymi pojeciami.

Zna twierdzenie Krulla-Schmidta.

5. Zna pojecie reprezentacji grup skonczonych i skonczenie wymiarowych algebr, reprezentacji nieprzywiedlnych

i całkowicie przywiedlnych, reprezentacji regularnej oraz charakteru reprezentacji.

Potrafi wyrazic pojecie reprezentacji grupy w jezyku modułu nad algebra grupowa tej grupy. Zna

twierdzenie o ortogonalnosci charakterów nieprzywiedlnych reprezentacji zespolonych grup skonczonych

oraz twierdzenie, ze reprezentacje zespolone grupy skonczonej, których charaktery sa sobie

równe, sa równowazne. Zna twierdzenie o rozwiazalnosci grup, których rzedy sa iloczynami poteg

dwóch liczb pierwszych;

6. Zna podstawowe twierdzenia dotyczace reprezentacji grup skonczonych nad ciałem liczb zespolonych

oraz zwiazki ich stopni oraz liczby reprezentacji nierównowaznych z odpowiednimi parametrami

grup i rozkładu algebr grupowych nad ciałem liczb zespolonych na iloczyn prosty algebr

macierzy. Potrafi wykorzystywac te twierdzenia do opisu algebr grupowych grup niskich rzedów;

7. Zna pojecie skonczenie wymiarowej algebry Lie’go i podstawowe przykłady takich algebr. Potrafi

opisac algebry Lie’go nad ciałem liczb zespolonych niskiego wymiaru. Zna pojecie radykału algebry

Lie’go i pojecia algebry prostej i półprostej i potrafi podac przykłady takich algebr. Zna pojecie

formy Killinga i potrafi je zastosowac do badania półprostosci skonczenie wymiarowych algebr

Lie’go nad ciałem liczb zespolonych. Zna pojecie reprezentacji algebry Lie’go. Zna pojecie algebry

obwiedniej i jej podstawowe własnosci, w tym twierdzenie Poincare-Birkhoffa-Witta.