Metody numeryczne

Wykład poświęcony jest podstawowym metodom numerycznym stosowanym w komputerowych obliczeniach naukowych.

Na wykładzie omówione będą podstawowe algorytmy stosowane w obliczeniach naukowych i sposoby ich praktycznej realizacji w formie programów komputerowych.

Program:

1. Reprezentacje liczb w pamięci komputera; błędy, precyzja i stabilność obliczeń.

2. Interpolacja i ekstrapolacja wielomianowa, algorytm Neville'a, funkcje sklejane.

3. Wygładzanie i aproksymacja danych.

4. Rozwiązywanie dużych układów algebraicznych równań liniowych.

5. Rozwiązywanie algebraicznych równań nieliniowych.

6. Całkowanie funkcji.

7. Zastosowania liczb losowych - metody Monte Carlo.

8. Problem minimalizacji

9. Sortowanie i wyszukiwanie.

10. Znajdowanie wartości i wektorów własnych dużych macierzy.

11. Transformata Fouriera.

12. Rozwiązywanie zwykłych i cząstkowych równań różniczkowych.

Wykładowi będą towarzyszyć ćwiczenia przy komputerze, na których studenci implementować będą poznane algorytmy w postaci programów komputerowych oraz zaznajomią się z możliwością korzystania z gotowych pakietów wspomagających obliczenia naukowe i analizę numeryczną danych.

1. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, and B.P. Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing

2. G. Dahlquist and A. Björck: Numerical Methods in Scientific Computing (istnieje wydanie polskie)

3. J. Stoer and R. Bulirsch: Wstęp do metod numerycznych

4. A. Ralston: Wstęp do analizy numerycznej

Po ukończeniu przedmiotu student posiada wiedzę z zakresu podstawowych metod numerycznych stosowanych w obliczeniach naukowych oraz rozumie ich znaczenie w rozwiązywaniu problemów obliczeniowych pojawiających się w fizyce i naukach pokrewnych. Zna zasady reprezentacji liczb w pamięci komputera oraz rozumie wpływ błędów zaokrągleń, dokładności i stabilności numerycznej na wiarygodność wyników obliczeń. Rozumie własności i ograniczenia klasycznych algorytmów numerycznych, w tym metod interpolacji i aproksymacji, rozwiązywania równań algebraicznych i różniczkowych, całkowania numerycznego oraz analizy wartości własnych.

Po ukończeniu przedmiotu student potrafi samodzielnie zaimplementować podstawowe algorytmy numeryczne w języku programowania ogólnego przeznaczenia, takim jak C++ lub Python. Umie testować poprawność i stabilność własnych implementacji oraz analizować uzyskane wyniki obliczeń, uwzględniając źródła błędów numerycznych. Potrafi dobrać odpowiednią metodę numeryczną do rozważanego problemu obliczeniowego oraz poprawnie interpretować otrzymane wyniki w kontekście matematycznym lub fizycznym.

Po ukończeniu przedmiotu student jest świadomy odpowiedzialności za rzetelność i poprawność wyników uzyskiwanych w obliczeniach komputerowych. Potrafi samodzielnie planować i organizować pracę nad zadaniami obliczeniowymi, realizując je w sposób systematyczny i uporządkowany. Rozumie potrzebę krytycznej oceny wyników obliczeń numerycznych oraz jest przygotowany do dalszego samokształcenia w zakresie metod numerycznych i analizy obliczeniowej.

Osiągnięcie efektów uczenia się weryfikowane jest poprzez egzaminy pisemne przeprowadzane w trakcie semestru oraz po jego zakończeniu, obejmujące pytania teoretyczne, proste zadania rachunkowe oraz zagadnienia dotyczące schematów algorytmów numerycznych. Umiejętności praktyczne oceniane są na podstawie pracy wykonywanej podczas ćwiczeń komputerowych, polegającej na samodzielnej implementacji algorytmów numerycznych, testowaniu ich działania oraz analizie uzyskiwanych wyników obliczeń. Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest uzyskanie pozytywnych ocen z egzaminów oraz zaliczenie ćwiczeń komputerowych, przy czym obecność i aktywność na ćwiczeniach stanowią istotny element oceny końcowej.