Modelowanie nanostruktur

obowiązkowe

Student powinien rozumieć podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej i fizyki materii skondensowanej oraz posiadać umiejętność stosowania metod matematycznych i numerycznych do analizy prostych układów fizycznych. Kurs nie jest wprowadzeniem do tych zagadnień, lecz rozwija je na poziomie modelowania i obliczeń stosowanych w nanofizyce.

Przedmiot prezentuje metody modelowania właściwości elektronowych nanostruktur. Omawiane są modele ciągłe oparte na aproksymacji masy efektywnej oraz rozwiązania równania Schrödingera dla stanów związanych w studniach kwantowych, także z wykorzystaniem metody wariacyjnej Ritza. Przedstawiana jest struktura elektronowa supersieci opisana funkcjami Blocha oraz numerycznie wyznaczana metodą różnic skończonych, a także analityczne przybliżenia pasmowe, w tym model Kroniga–Penney’a. Kurs obejmuje zagadnienia ewolucji stanów kwantowych w czasie, analizę transmisji i tunelowania kwantowego przez bariery potencjału oraz wykorzystanie metod Monte Carlo, w szczególności w opisie modelu Isinga. Zakończenie stanowi prezentacja metody ciasnego wiązania na przykładzie grafenu i jego stożkowej struktury Diraca.

Tematyka kursu obejmuje zagadnienia:

1. Wprowadzenie do modelowania nanostruktur

Charakterystyka nanostruktur i ich klasyfikacja. Znaczenie efektów kwantowych wynikających z ograniczenia wymiarowości. Przegląd metod teoretycznych stosowanych do opisu nanostruktur: aproksymacja masy efektywnej, metoda ciasnego wiązania, teoria funkcjonału gęstości oraz metody numeryczne.

2. Metody ciągłe w modelowaniu nanostruktur

Aproksymacja masy efektywnej jako model ciągły opisu ruchu elektronów w heterostrukturach półprzewodnikowych. Zastosowanie równania Schrödingera niezależnego od czasu z masą efektywną do opisu stanów związanych w studni kwantowej.

3. Stany związane w studni kwantowej – metoda wariacyjna

Zastosowanie metody wariacyjnej Ritza do przybliżonego rozwiązania równania Schrödingera dla układu o hamiltonianie H. Dobór funkcji próbnych, minimalizacja wartości oczekiwanej energii oraz interpretacja uzyskanych stanów własnych.

4. Struktura elektronowa supersieci.

Stany związane w periodycznym potencjale. Opis ruchu elektronu w supersieci: periodyczne warunki brzegowe, warunki translacyjności i funkcje Blocha.

Metoda różnic skończonych – aproksymacja pochodnych i numeryczne rozwiązanie równania Schrödingera dla potencjału periodycznego o dowolnym kształcie (przykład implementacji trójpunktowej formuły różnicowej, ang. Finite Difference Method).

5. Struktura elektronowa supersieci – rachunek zaburzeń

Przybliżenie pustej sieci (Nearly Free Electron Approximation) i rachunek zaburzeń dla słabego periodycznego potencjału. Model Kroniga–Penney’a jako przykład analitycznego opisu pasm energetycznych. Porównanie wyników analitycznych i numerycznych dla realnych parametrów supersieci.

6. Problemy kwantowo-mechaniczne zależne od czasu

Równanie Schrödingera zależne od czasu oraz propagacja i rozprzestrzenianie się pakietu falowego. Transformata Fouriera i odwrotna transformata Fouriera jako narzędzia analizy ewolucji stanów kwantowych. Metody numeryczne rozwiązywania równań ewolucyjnych – metoda Rungego–Kutty.

8. Stany rozpraszające, transmisja i tunelowanie kwantowe

Transmisja elektronów przez bariery potencjału: współczynniki odbicia i transmisji wynikające z ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej.

Tunelowanie kwantowe, metoda macierzy przejścia.

10. Metody Monte Carlo w fizyce nanostruktur

Stochastyczne metody symulacji procesów fizycznych:

• algorytm Metropolisa – generowanie konfiguracji zgodnych z rozkładem Boltzmanna,

• direct sampling.

11. Model Isinga

Symulacje Monte Carlo modelu Isinga jako przykład zastosowania metod numerycznych do badania magnetyzmu w układach niskowymiarowych i nanomateriałach.

12. Metoda ciasnego wiązania (tight-binding)

Zastosowanie atomistycznego opisu opartego na bazie orbitali do obliczeń pasm energetycznych. Przykład: grafen i stożek Diraca w punkcie K.

Richard M. Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods, Cambridge University Press, 2004.

Robert G. Parr, Weitao Yang, Density-Functional Theory of Atoms and Molecules, Oxford University Press, 1989.

K. Ohno, K. Esfarjani, Y. Kawazoe, Computational Materials Science: From Ab Initio to Monte Carlo Methods, Springer, 1999.

Werner Krauth, Statistical Mechanics: Algorithms and Computations, Oxford University Press, 2006.

A. Gonis, Theoretical Materials Science: Tracing the Electronic Origin of Materials Behavior, Materials Research Society, 2000.

D. Raabe, Computational Materials Science, Wiley, 1992.

Z. H. Barber (ed.), Introduction to Materials Modelling, Maney, 2005.

J. M. Haile, Molecular Dynamics Simulation, Wiley, 1992.

Kalman Varga, Joseph A. Driscoll, Computational Nanoscience: Applications for Molecules, Clusters, and Solids, Cambridge University Press, 2011.

Kody komputerowe i przykłady dostępne są na stronie wydawcy.

(I) Wiedza – student zna i rozumie:

W1. Zna klasyfikację nanostruktur oraz rozumie konsekwencje ograniczenia wymiarowości na ich własności fizyczne, w szczególności wynikające z kwantyzacji ruchu elektronów i efektów tunelowych.

W2. Rozumie teoretyczne podstawy opisu ruchu elektronu w nanostrukturach, ze szczególnym uwzględnieniem aproksymacji masy efektywnej oraz metody ciasnego wiązania, i zna zakres ich stosowalności.

W3. Zna równanie Schrödingera w postaci zależnej i niezależnej od czasu oraz rozumie jego zastosowanie do opisu stanów związanych i rozpraszających w układach kwantowych o zróżnicowanej geometrii potencjału.

W4. Rozumie ideę metody wariacyjnej Ritza oraz jej zastosowanie do przybliżonego wyznaczania stanów własnych układów kwantowych. Student zna i rozumie procedure znajdowania stanów kwantowych dla układu fizycznego o Hamiltonianiu H w metodzie Ritza.

W5. Zna podstawy struktury elektronowej supersieci oraz twierdzenie Blocha, w tym pojęcie funkcji Blocha i warunki okresowości potencjału. Zna różne podejścia do wyznaczania pasm energetycznych: numeryczne (np. metoda różnic skończonych do aproksymacji drugiej pochodnej) oraz analityczne – oparte na rachunku zaburzeń i przybliżeniu pustej sieci, potrafi analitycznie wyprowadzic poprawki pierwszego rzędu do energii dla potencjalu zaburzajacego Kroniga–Penney’a.

W6. Zna metody analizy dynamiki kwantowej, w tym propagację pakietów falowych, zastosowanie transformaty Fouriera oraz metody numeryczne (np. Rungego–Kutty) do rozwiązywania równań ewolucyjnych układów kwantowych.

W7. Rozumie zjawiska transmisji i tunelowania kwantowego oraz zasady wyznaczania współczynników odbicia i transmisji na podstawie warunków ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej; zna formalizm macierzy przejścia.

W8. Zna podstawy metod Monte Carlo stosowanych w fizyce materii skondensowanej, w szczególności algorytm Metropolisa oraz metody direct sampling, i rozumie ich zastosowanie w badaniu układów kwantowych i klasycznych.

W9. Rozumie założenia modelu Isinga jako opisu magnetyzmu w układach niskowymiarowych oraz zna jego zastosowanie w symulacjach numerycznych właściwości nanomateriałów.

W10. Zna założenia metody ciasnego wiązania (ang. tight-binding) oraz rozumie jej zastosowanie do opisu struktury elektronowej materiałów, w szczególności grafenu i powstawania stożkowej struktury Diraca w punktach K przestrzeni odwrotnej.

(II) Umiejętności – student potrafi:

U1. Rozwiązywać równanie Schrödingera niezależne od czasu dla stanów związanych cząstki w studni potencjału o dowolnym kształcie, z zastosowaniem metody wariacyjnej Ritza; implementować różne bazy funkcji próbnych oraz oceniać wpływ liczby funkcji na dokładność wyników.

U2. Analizować uzyskane poziomy energetyczne i odpowiadające im funkcje falowe w zależności od parametrów potencjału (kształtu dna, szerokości studni, głębokości bariery oraz wartości masy efektywnej).

U3. Wyprowadzać wzory aproksymacyjne dla operatorów pochodnych w metodzie różnic skończonych (schemat 3-punktowy i 5-punktowy) oraz konstruować modele numeryczne supersieci z ich wykorzystaniem.

U4. Stosować rachunek zaburzeń do analizy wpływu słabego periodycznego potencjału na strukturę pasmową nanoukładu, w szczególności w modelu Kroniga–Penney’a, oraz interpretować uzyskane wyniki.

U5. Analizować dynamikę stanów kwantowych, propagację pakietów falowych oraz wykorzystywać transformatę Fouriera do opisu czasowej ewolucji układów kwantowych.

U6. Wyznaczać współczynniki transmisji i odbicia dla barier potencjału oraz modelować zjawisko tunelowania kwantowego z użyciem formalizmu macierzy przejścia. Student potrafi wyprowadzic macierz przejscia na na podstawie warunków ciągłości funkcji falowej.

U7. Implementować i wykorzystywać metody Monte Carlo do symulacji właściwości fizycznych układów, w tym modelu Isinga, oraz interpretować uzyskane wyniki.

U8. Posługiwać się metodą tight-binding do obliczeń energetycznych i wyznaczania struktury pasmowej materiałów, w szczególności grafenu.

U9. Analizować i porównywać wyniki obliczeń uzyskane metodami numerycznymi i analitycznymi w modelowaniu nanomateriałów.

(III) Kompetencje społeczne – student jest gotów do:

K1. Krytycznej oceny wyników symulacji komputerowych oraz odpowiedzialnego formułowania i uzasadniania wniosków opartych na modelach teoretycznych.

K2. Świadomego stosowania modeli fizycznych, z uwzględnieniem ich ograniczeń, założeń upraszczających oraz możliwych konsekwencji błędnych interpretacji.

K3. Samodzielnego pogłębiania wiedzy z zakresu fizyki nanostruktur i nowoczesnych metod ich modelowania, w tym śledzenia rozwoju narzędzi numerycznych.

K3. Pracy indywidualnej i zespołowej w rozwiązywaniu problemów obliczeniowych oraz prezentowania wyników w sposób jasny i zrozumiały.

Zaliczenie przedmiotu odbywa się na podstawie sumy punktów uzyskanych z wykładu oraz ćwiczeń.

Punkty z ćwiczeń: X pkt

Punkty z wykładu (egzamin): 0.5*X

(test podsumowujący wiedzę teoretyczną na koniec semestru)

Punkty z wykładu stanowią połowę liczby punktów możliwych do uzyskania z ćwiczeń. SUma punktów możliwych do zdobycia to 1.5*X.

Zaliczenie > 0.75*X